Question

已知函数f(x)=lg ，f(1)=0，当x>0时，恒有f(x)=lgx.

(1)若不等式f(x)≤lgt的解集为A，且A(0,4]，求实数t的取值范围；

(2)若方程f(x)=lg(8x+m)的解集为，求实数m的取值范围.

Answer

（1）（2）0≤m<18

【解析】

(1)求出函数的表达式，转化为一个方程，分离参数,根据的定义域即可求出；(2)根据对数的运算性质，可将方程，转化为一个关于的分式方程组，进而根据方程的解集为，则从方程组有解求出的范围，再求其补集即可.

(1) 当时，恒有成立.

，

即恒成立，

，且由可得，

故，，

得且>0，由于A(0, 4]，

故，得

又因为，所以实数t的取值范围是

(2)先当方程有解，则得在或内有解

令，则

所以，从而

所以时方程的解集为.