Question

已知椭圆的两个焦点分别为，，，过点的直线与椭圆相交于点A,B两点，且

（1）若，求椭圆的方程；

（2）直线AB的斜率；

（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，求的值.

Answer

（1）（2）（3）

【解析】

(1) 由已知可得，且，得B是A和E的中点，即可求出椭圆方程；(2) 方法一:由题意知椭圆的方程可写为设直线的方程，设，则它们的坐标满足方程组，整理得再由根的判别式和根与系数的关系求解；方法二:设直线的方程为，代C入，消去x整理，得， 再由根的判别式和根与系数的关系求解；(3)由(1) 可得，设椭圆方程为，得A（0，），C（0，），写出线段AF1 的垂直平分线l的方程，得到△AF1C外接圆的圆心．求得外接圆的方程为．再求出直线F2B的方程为y（x﹣c），于是点H（m，n）的坐标满足方程组：，由此可得的值．同理分析得到另一种情况下的的值．

（1）由，得，

从而，整理得， .

（2）解法1：由（1）知，，所以椭圆的方程可以写为

设直线AB的方程为即，

由已知设则它们的坐标满足方程组，

消去y整理，得，

依题意，

而①，②由题设知，点B为线段AE的中点，

所以③，

联立①②③，解得，将结果代入韦达定理中解得.

解法2：由（1）知，，所以椭圆的方程可以写为，

设直线AB的方程为，即，代入

消去x整理，得，

所以，

有题设知，点B为线段AE的中点，所以，所以，

即，

得，

解得：，代入检验成立，

从而直线AB的斜率.

(3)由（2）知，，当时，得A由已知得

线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是的外接圆的圆心，因此外接圆的方程为

直线的方程为，于是点满足方程组

由，解得，故

当时，同理可得.