Question

已知A、B、C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点.

(I)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积.

(II)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.

Answer

(I)(II) 不可能是菱形

【解析】

【解析】
(1)椭圆W：＋y2＝1的右顶点B的坐标为(2,0)．

因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分．

所以可设A(1，m)，

代入椭圆方程得＋m2＝1，即m＝±.

所以菱形OABC的面积是

|OB|·|AC|＝×2×2|m|＝.

(2)四边形OABC不可能为菱形．理由如下：

假设四边形OABC为菱形．

因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，

所以可设AC的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)．

由

消y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.

设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则＝－，＝k·＋m＝.

所以AC的中点为M.

因为M为AC和OB的交点，

所以直线OB的斜率为－.

因为k·≠－1，所以AC与OB不垂直．

所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾．

所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．