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已知A、B、C是椭圆W:上的三个点,O是坐标原点. (I)当点B是W的右顶点,且...

已知ABC是椭圆W上的三个点,O是坐标原点.

(I)当点BW的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积.

(II)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由.

 

(I)(II) 不可能是菱形 【解析】 【解析】 (1)椭圆W:+y2=1的右顶点B的坐标为(2,0). 因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分. 所以可设A(1,m), 代入椭圆方程得+m2=1,即m=±. 所以菱形OABC的面积是 |OB|·|AC|=×2×2|m|=. (2)四边形OABC不可能为菱形.理由如下: 假设四边形OABC为菱形. 因为点B不是W的顶点,且直线AC不过原点, 所以可设AC的方程为y=kx+m(k≠0,m≠0). 由 消y并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0. 设A(x1,y1),C(x2,y2),则=-,=k·+m=. 所以AC的中点为M. 因为M为AC和OB的交点, 所以直线OB的斜率为-. 因为k·≠-1,所以AC与OB不垂直. 所以四边形OABC不是菱形,与假设矛盾. 所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形.  
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