Question

已知函数．

（1）求函数的定义域，并判断的奇偶性；

（2）如果当时，的值域是，求与的值；

（3）对任意的，，是否存在，使得，若存在，求出；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）（﹣1，1），f（x）是奇函数；（2），t=﹣1；（3）存在，.

【解析】

（1）直接由真数大于0，解分式不等式可得函数的定义域，利用定义判断函数的奇偶性；

（2）给出的函数是对数型的复合函数，经分析可知内层分式函数为减函数，外层对数函数也为减函数，要保证当时，的值域是，首先应有，，，且当时，，结合内层函数图象及单调性可得，且，从而求出和的值；

（3）假设存在，使得，代入对数式后把用，表示，只要能够证明在定义域内即可，证明可用作差法或分析法．

【解析】
（1）要使原函数有意义，则，解得，

所以，函数的定义域

是定义域内的奇函数．

证明：对任意，有

所以函数是奇函数．

（2）由知，函数在上单调递减，

因为，所以在上是增函数

又因为时，的值域是，所以，，

且在的值域是，

故且

由得：，解得或（舍去）．

所以，

（3）假设存在使得

即

则，

解得，

下面证明．

证明：由．

，，，，

，即，．

所以存在，使得．