Question

对于各项均为正数的无穷数列，记，给出下列定义：

①若存在实数，使成立，则称数列为“有上界数列”；

②若数列为有上界数列，且存在，使成立，则称数列为“有最大值数列”；

③若，则称数列为“比减小数列”．

（1）根据上述定义，判断数列是何种数列？

（2）若数列中，，，求证：数列既是有上界数列又是比减小数列；

（3）若数列是单调递增数列，且是有上界数列，但不是有最大值数列，求证：，．

Answer

（1）既是有上界数列，又是有最大值数列；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

（1）由，，得，，由此得到数列既是有上界数列，又是有最大值数列．

（2）先用数学归纳法证明，再证明．．然后证明，由此得到数列既是比减少数列又是有上界数列．

（3）假设对于，，由此推导出无穷数列不是有上界数列，与已知矛盾，假设不成立，从而得到对于数列，，．

【解析】
（1）由题意知，，

，

，且存在，，

所以数列既是有上界数列，又是有最大值数列．

（2）数列中，，，

下面用数学归纳法证明，

①，命题；

②假设时命题成立，即，

当时，，

，

所以，当时，命题成立，即．

下面证明．

．

因为，所以，即．

由，，

两式相除得：，，

所以，，，

即．

下面证明，

即需证明，即需证明，

而已证明成立，

所以，

即，，

所以，数列既是比减少数列又是有上界数列．

（3）用反证法，假设对于，，

即，

因为无穷数列各项为正且单调递增，所以．

，

所以．当时，

，所以无穷数列不是有上界数列，与已知矛盾，假设不成立，

因此，对于数列，，．