Question

如图，在三棱台中，二面角是直二面角，，，．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由勾股定理可得，由面面垂直的性质可得平面，从而可得，结合，由线面垂直的判定定理可得平面；（2）在平面内，过点作，由（1）可知，以为原点，，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，是平面的一个法向量，利用向量垂直数量积为零列方程求出平面的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.

（1）连接，在等腰梯形中，过作交于点，因为，所以，，，所以，所以，即，又二面角是直二面角，平面，所以平面，

又平面，所以，又因为，，、平面，所以平面．

（2）如图，在平面内，过点作，由（1）可知，以为原点，，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系．

则，，，，

所以，，设是平面的一个法向量，则，所以，

取，则，，

即，

由（1）可知平面，

所以是平面的一个法向量，

所以 ，

又二面角的平面角为锐角，

所以二面角的平面角的余弦值为．