Question

已知函数.

（1）若在上单调，求的取值范围.

（2）若的图像恒在轴上方，求的取值范围.

Answer

（1） （2）

【解析】

(1)求出，在上单调，则或在上恒成立，只需要讨论出函数在上的单调性，求出其最值即可.
(2) 的图像恒在轴上方,即在上恒成立，设，再对函数求导讨论出在的单调性，求出其最大值即可.

（1）由题意得，.

在上单调，即在上大于等于0或者小于等于0恒成立.

令，则.时，.

当时，，∴在上单调递减，

∴由题意得，或.

∴的取值范围是.

（2）的图像恒在轴上方，也即当时，恒成立.

也即在上恒成立.

令，，

由可得：

1

+

0

-

单调递增

0

单调递减

当时，，单调递减；当时，，单调递增；

∴为极大值.

所以.

∴的取值范围是.