Question

在中，角，，的对边分别为，，，已知.

（1）若，的面积为，求，的值；

（2）若，且角为钝角，求实数的取值范围.

Answer

（1），或，（2）

【解析】

先由正弦定理和三角恒等变换，同角的三角函数基本关系求出cosA、sinA的值；

（1）利用余弦定理和三角形的面积公式列出方程组，求出b、c的值；

（2）利用正弦定理和余弦定理，结合角为钝角，求出k的取值范围．

△ABC中，4acosA＝ccosB+bcosC，

∴4sinAcosA＝sinCcosB+sinBcosC＝sin（C+B）＝sinA，

∴cosA，

∴sinA；

（1）a＝4，

∴a2＝b2+c2﹣2bc•cosA＝b2+c2bc＝16①；

又△ABC的面积为：

S△ABCbc•sinAbc•，

∴bc＝8②；

由①②组成方程组，解得b＝4，c＝2或b＝2，c＝4；

（2）当sinB＝ksinC（k＞0），b＝kc，

∴a2＝b2+c2﹣2bc•cosA＝（kc）2+c2﹣2kc•c•（k2k+1）c2；

又C为钝角，则a2+b2＜c2，

即（k2k+1）+k2＜1，解得0＜k；

所以k的取值范围是．