Question

设函数，.

（1）若，，求函数的单调区间；

（2）若曲线在点处的切线与直线平行.

①求，的值；

②求实数的取值范围，使得对恒成立.

Answer

（1）的单调增区间为，单调减区间为（2）①②

【解析】

（1）求出函数的导数，通过解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

（2）①求出g（x）的导数，得到关于a，b的方程组，解出即可；

②问题转化为g（x）﹣k（x2﹣x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立．令F（x）＝g（x）﹣k（x2﹣x），求出函数的导数，通过讨论k的范围，求出函数的单调区间，从而确定k的范围即可．

（1）当，时，，

则.当时，；

当时，；

所以的单调增区间为，单调减区间为.

（2）①因为，

所以，依题设有，即.

解得.

②，.

对恒成立，即对恒成立.

令，则有.

当时，当时，，

所以在上单调递增.

所以，即当时，；

当时，当时，，所以在上单调递减，故当时，，即当时，不恒成立.

综上，.