Question

已知抛物线，过点作斜率为的直线与抛物线交于不同的两点，．

（1）求的取值范围；

（2）若为直角三角形，且，求的值．

Answer

（1）或 （2）

【解析】

（1）设直线的方程，联立直线和抛物线的方程得，解即可；

（2）结合韦达定理，计算的坐标表示即可.

【解析】
（1）由题意，设直线方程为，

联立方程组，消去得，

要使直线与抛物线交于不同的两点，，则，

即，

解得或，

综上，的取值范围为或.

（2）设，，由（1）可知，是的两个根，

则，，

法一：因为为直角三角形，且，

所以，即，

因为

，

所以有，

解得或，

当时，直线过原点，，，不能够构成三角形，

所以.

法二：因为为直角三角形，且，

所以，即，

因为，所以，

因为，所以，

即，解得，

此时满足（1）中的取值范围，所以.