Question

如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点．

（1）求证：平面；

（2）若，求二面角的大小；

（3）若线段上总存在一点，使得，求的最大值．

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）设，连结，，通过证明为平行四边形得，或者建立空间直角坐标系，利用向量证明平行；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量方法分别求出两个半平面的法向量的夹角即可得到二面角的大小；

（3）根据向量的坐标表示，得恒有解即可求出的范围.

【解析】
（1）法一：设，连结，，

因为矩形中是线段的中点，是线段的中点，

所以，，所以为平行四边形，

故，

又平面，平面，

所以平面；

法二：由题意，正方形和矩形所在的平面互相垂直，

因为平面平面，

，所以平面，

以为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，

因为，，是线段的中点，

则，，，，，，

从而，，，，

设平面的法向量为，则由，可知，

不妨令，则，，从而平面的一个法向量为，

计算可知，又平面，

所以，从而平面.

（2）若，则，，

平面的一个法向量为，

设平面的法向量为，则由，可知，

不妨令，则，，

从而平面的一个法向量为，

设二面角的平面角为，

因为为锐角，所以，

所以二面角的大小为.

（3）因为点在线段上，而，

设，其中，

则，从而点坐标为，

于是，而，

则由可知，即，

所以，解得，故的最大值为.