Question

如图1，四边形是等腰梯形，，，，为的中点.将沿折起，如图2，点是棱上的点.

（1）若为的中点，证明：平面平面；

（2）若，试确定的位置，使二面角的余弦值等于.

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）取的中点为，连结，，易知，可得平面，从而，取中点，连结，，易证，，，四点共面，由，可得，即可证明平面，从而可证明平面平面；

（2）先证明互相垂直，进而分别以，，为，，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，可得到点坐标，进而求得平面和平面的法向量，由可求出的值.

（1）由题意，且，所以四边形是平行四边形，

又，，所以是正三角形，是菱形，

取的中点为，连结，，易知是正三角形，则，又，则平面，所以；

取中点，连结，，则，所以，，，四点共面，

又，则，又，所以平面.

又平面，∴平面平面.

（2）因为，，所以，又且，则以，，为，，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，设，

则，易知平面的法向量可取，

设平面的法向量为，又，，

∴，则可取，

由题意，解得，故.