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已知函数. (1)讨论函数的单调性; (2)若有两个极值点,且恒成立,求实数的取...

已知函数.

1)讨论函数的单调性;

2)若有两个极值点,且恒成立,求实数的取值范围.

 

(1)详见解析;(2) 【解析】 (1)对函数求导,分,和三种情况,讨论导函数的正负,进而可得到函数的单调性; (2)由(1)知时,有两个极值点,可得,,整理可得,不等式可化为,结合可得到,令上述不等式等价于当时恒成立,构造函数,求导并讨论单调性,使其最小值大于0即可求出答案. (1)函数的定义域为, , ①若,则,显然,所以在单调递减; ②若,由得,此时, 由得; 由得. 即在区间单调递增,在区间和单调递减; ③若,, 则在区间单调递增,在区间单调递减. (2)由(1)知时,有两个极值点,,是方程的两个根,,, ∴ , 所以原不等式等价于, 又,∴, 即, 令,上述不等式可化为,当时,恒成立. 设,则, 令,则, 当时,,即在上单调递增, 所以时,. ①当即时,,即在上单调递增,符合题意; ②当时,因为在上单调递增,记, 则时,时, 即时单调递减,所以存在,使,不合题意, 综上所述:.
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