Question

某旅游风景区发行的纪念章即将投放市场，根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下：

上市时间x天	2	6	20
市场价y元	102	78	120

（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①；②；③；

（2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格；

（3）利用你选取的函数，若存在，使得不等式成立，求实数k的取值范围.

Answer

（1）选择，理由见解析，（2）上市天数10天，最低价格70元，（3）

【解析】

(1)根据函数的单调性选取即可.

(2) 把点代入中求解参数,再根据二次函数的最值求解即可.

(3)参变分离后再求解最值即可.

（1）随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的三个函数中和显然都是单调函数，不满足题意，

∴选择.

（2）把点代入中，

得，

解得，

∴当时，y有最小值.

故当纪念章上市10天时，该纪念章的市场价最低，最低市场价为70元 ，

（3）由题意，令，

若存在使得不等式成立，则须，

又，当且仅当时，等号成立，

所以.