Question

已知是奇函数（e为自然对数的底数）.

（1）求实数a的值；

（2）求函数在上的值域；

（3）令，求不等式的解集.

Answer

（1），（2）当时，值域为；当时，值域为 ，（3）

【解析】

(1)利用奇函数满足求解即可.

(2) 设,再分类讨论参数求解二次复合函数的值域即可.

(3)判断的单调性,再利用的单调性与奇偶性求解不等式即可.

（1）的定义域为R，因为为奇函数，

所以，故，即.由检验知满足题目要求.

（2）设，所以，

设，

①当时，，所以值域为；

②当时，，所以值域为.

（3）的定义域为R，因为为奇函数，

所以，

故为奇函数.

下面判断的单调性

设，则，

因为，故，

所以，故在R上单调递增，

所以由，得，

又为奇函数，即，所以.

，解得或，

故或，

故原不等式的解集为.