Question

某景区欲建两条圆形观景步道（宽度忽略不计），如图所示，已知，（单位：米），要求圆M与分别相切于点B，D，圆与分别相切于点C，D．

（1）若，求圆的半径；（结果精确到0.1米）

（2）若观景步道的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，则当多大时，总造价最低？最低总造价是多少？（结果分别精确到0.1°和0.1千元）

Answer

（1）34.6米，16.1米；（2）263.8千元．

【解析】

（1）利用切线的性质即可得出圆的半径；

（2）设∠BAD＝2α，则总造价y＝0.8•2π•60tanα+0.9•2π•60tan（45°﹣α），化简，令1+tanα＝x换元，利用基本不等式得出最值．

（1）连结M1M2，AM1，AM2，

∵圆M1与AB，AD相切于B，D，圆M2与AC，AD分别相切于点C，D，

∴M1，M2⊥AD，∠M1AD＝∠BAD＝，∠M2AD＝，

∴M1B＝ABtan∠M1AB＝60×＝20≈34.6（米），

∵tan＝＝，∴tan＝2﹣，

同理可得：M2D＝60×tan＝60（2﹣）≈16.1（米）．

（2）设∠BAD＝2α（0＜α＜），由（1）可知圆M1的半径为60tanα，圆M2的半径为

60tan（45°﹣α），

设观景步道总造价为y千元，则y＝0.8•2π•60tanα+0.9•2π•60tan（45°﹣α）＝96πtanα+108π•，

设1+tanα＝x，则tanα＝x﹣1，且1＜x＜2．

∴y＝96π（x﹣1）+108π（）＝12π•（8x+﹣17）≥84π≈263.8，

当且仅当8x＝即x＝时取等号，

当x＝时，tanα＝，∴α≈26.6°，2α≈53.2°．

∴当∠BAD为53.2°时，观景步道造价最低，最低造价为263.8千元．