Question

已知函数，其中为常数，且.

（1）若是奇函数，求的取值集合；

（2）当时，设的反函数，且的图象与的图象关于对称，求的取值集合；

（3）对于问题（1）（2）中的、，当时，不等式恒成立，求的取值范围.

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）由求出实数的值，然后检验此时函数为奇函数，由此可得出集合；

（2）当时，由得，解得，可得出，然后解出方程可得出集合；

（3）原问题转化为，恒成立，可得出或，由此能求出实数的取值范围.

（1）由于函数为奇函数，且定义域为，则，

，，

由题意得，整理得，解得或.

，，则，定义域为，关于原点对称，

，

此时，函数为奇函数，合乎题意，因此，；

（2）当时，由得，可得，得，

，所以，，

由于的图象与的图象关于对称，

则为方程的实数解，解方程，即，

变形得，解得，即，因此，；

（3）令，

原问题转化为在上恒成立，

则或，

即或，解得.

因此，实数的取值范围是.