Question

对于定义在区间上的函数，若同时满足：

（Ⅰ）若存在闭区间，使得任取，都有（是常数）；

（Ⅱ）对于内任意，当，时总有恒成立，则称函数为“平底型”函数.

（1）判断函数和是否是“平底型”函数？简要说明理由；

（2）设是（1）中的“平底型”函数，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；

（3）函数是区间上的“平底型”函数，求和满足的条件，并说明理由.

Answer

（1）是“平底型”函数，不是“平底型”函数；理由见解析；（2）；

（3）且.

【解析】

（1）将函数与分别表示为分段函数，结合题中定义对这两个函数是否为“平底型”函数进行判断；

（2）由（1）知，，由题意得出，利用绝对值三角不等式求出的最小值，然后分、、三种情况来解不等式，即可得出的取值范围；

（3）假设函数，是“平底型”函数，则该函数的解析式需满足“平底型”函数的两个条件，化简函数解析式，检验“平底型”函数的两个条件同时具备的、值是否存在.

（1），.

对于函数，当时，，

当时，；当时，.

所以，函数为“平底型”函数.

对于函数，当时，；当时，.

但区间不是闭区间，所以，函数不是“平底型”函数；

（2）由（1）知，，

由于不等式对一切恒成立，则.

由绝对值三角不等式得，则有.

①当时，由，得，解得，此时，；

②当时，恒成立，此时，；

③当时，由，得，解得，此时，.

综上所述，的取值范围是；

（3）.

①当时，

（i）若，则，该函数为“平底型”函数；

（ii）若，则该函数不是“平底型”函数；

②当时，若时，则，当时，，该函数不是“平底型”函数；

③当时，则，

（i）若，则该函数不是“平底型”函数；

（ii）若，该函数不是“平底型”函数；

（iii）若，则，则，显然，该函数不是“平底型”函数.

综上所述，当且时，函数是区间上的“平底型”函数.