Question

已知函数，，对于不相等的实数、，设，，现有如下命题：

①对于任意不相等的实数、，都有；

②对于任意的及任意不相等的实数、，都有；

③对于任意的，存在不相等的实数、，使得；

④对于任意的，存在不相等的实数、，使得；

其中所有的真命题的序号是_______.

Answer

①④

【解析】

①根据函数单调性的定义来判断是否正确. ②通过举反例来判断是否正确. ③通过构造函数，利用导数研究的单调性来判断是否正确. ④通过构造函数，利用导数研究的单调性来判断是否正确.

对于①，由于在上单调递增，根据单调性的定义可知，对于任意不相等的实数、，都有，故①是真命题.

对于②，当时，，则，所以②是假命题.

对于③，若，则，即，即，令，由于，所以不是单调函数.令，得.令，则由解得，所以在上递减，在上递增，当时取得极小值也即是最小值，所以不满足对任意实数成立.所以③错误.

对于④，若，则，即，即，令，由于，所以不是单调函数.令，得.令，则，所以在上单调递减，值域为，所以满足对任意实数成立.所以对于任意的，存在不相等的实数、，使得，所以④为真命题.

故答案为：①④