Question

函数对任意的满足:,当时,

（1）求出函数在R上零点；

（2）求满足不等式的实数的范围.

Answer

(1) ；(2) .

【解析】

(1)根据奇偶函数的定义、函数的周期定义,结合已知可以判断出该函数的奇偶性和周期,可以判断出时,的零点情况,最后利用函数的奇偶性和周期求出函数在R上零点；

(2)先判断出当时,函数的单调性,再利用函数的奇偶性,可以化简不等式,最后求出实数的范围.

(1)因为 ,所以函数是周期为2的奇函数.

因为,所以当时,函数没有零点,根据奇函数的对称性可知：当

,函数没有零点,而,令,有,而由奇函数的性质可知：,所以有,因此当时,函数有三个零点,又因为函数的周期是2,所以函数的零点为：,即；

(2)设,因此.

,

因为,所以,因此,故函数在时是增函数.

因为函数是奇函数,所以

因为 ,所以,,因此当时,根据单调性可知：

.