Question

已知双曲线的左右顶点分别为.直线和两条渐近线交于点,点在第一象限且,是双曲线上的任意一点.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)是否存在点P使得为直角三角形？若存在,求出点P的个数；

(3)直线与直线分别交于点,证明：以为直径的圆必过定点.

Answer

(1) ；(2)4个；(3)证明过程见解析.

【解析】

(1)根据,可知,根据题意求出点的坐标,根据,求出,这样可求出双曲线的标准方程；

(2)分类讨论以三点为直角顶点时能否构成直角三角形,最后确定点P的个数；

(3)设出点P的坐标,根据三点共线,结合斜率公式可以求出点的坐标,进而可求出以为直径的圆,最后根据圆的标准方程,可以判断出该圆所过的定点.

(1)因为,所以,双曲线的渐近线方程为：,由题意可知：

而,所以,因此双曲线的标准方程为：；

(2)因为直线的斜率为,所以与直线垂直的直线的斜率为,设点的坐标为：,则有.

当时,所以且,解得或此时存在2个点；

当时,所以且,,解得或,此时存在2个点；

当时,此时点是以线段为直径圆上,圆的方程为：,与双曲线方程联立,无实数解,

综上所述：点P的个数为4个；

(3)设点的坐标为,.

因为三点共线,所以直线的斜率相等,即

因为三点共线,所以直线的斜率相等,即 , 所以的中点坐标为：

,所以以为直径的圆的方程为：,即

令或,因此该圆恒过两点.