Question

已知位数满足下列条件：①各个数字只能从集合中选取；②若其中有数字，则在的前面不含，将这样的位数的个数记为；

（1）求、；

（2）探究与之间的关系，求出数列的通项公式；

（3）对于每个正整数，在与之间插入个得到一个新数列，设是数列的前项和，试探究能否成立，写出你探究得到的结论并给出证明；

Answer

（1），（2），（3）不能成立，证明见解析

【解析】

（1）根据已知条件，进行分类讨论，由此计算出的值.

（2）根据已知条件，分类讨论求得和之间的递推关系式，由此求得数列的通项公式.

（3）根据（2）中求得的数列的通项公式，计算出，由此证得不成立.

（1）当时，这样的位数有个，所以.

当时，若个位数字为，则十位数字可以为，共有种；若个位数字为，则十位数字可以为，共有种.所以当时，共有种，即.

当时，若个位数字是，则十位和百位的可能情况有种；若个位数字为，则十位和百位分别有种，共有种.所以.

（2）结合（1）的分析可知，当位数时，若个位数字是，其余个位置的方法数为；若个位数字为，则其余个位置的方法数为种.所以.整理得，所以是以为首项，公差为的等差数列，则，化简得.所以数列的通项公式为.

（3）由（2）得.则

，

，

由于，所以单调递增，所以不成立.