Question

松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利. 已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔（单位：分钟）满足. 经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔相关，当时电车为满载状态，载客量为人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为分钟时的载客量为人.记电车载客量为.

（1）求的表达式，并求当发车时间间隔为分钟时，电车的载客量；

（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？

Answer

（1），电车的载客量为人；（2）当发车时间间隔分钟时，该线路每分钟的净收益最大.

【解析】

（1）由题意可得（为常数），结合可求出，进而可求出的值；

（2）由题意得出关于的分段函数表达式，利用基本不等式和函数单调性分段求出最大值，取两者中的最大值即可.

（1）由题意知（为常数 ）

，解得，

所以，所以（人），

即当发车时间间隔为分钟时，电车的载客量为人；

（2）由可得.

当时，，

当且仅当时等号成立；

当时，函数单调递减，则，当时等号成立

因此，当发车时间间隔分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大值为元.