Question

已知椭圆经过点，其左焦点为.过点的直线交椭圆于、两点，交轴的正半轴于点.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点且与垂直的直线交椭圆于、两点，若四边形的面积为，求直线的方程；

（3）设，，求证：为定值.

Answer

（1）；（2）或；（3）证明见解析.

【解析】

（1）根据题意列出有关、的方程组，解出和的值，即可得出椭圆的标准方程；

（2）设直线的方程为，则，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式求出关于的表达式，同理得出关于的表达式，由可得出关于的方程，解出正数的值，即可得出直线的方程；

（3）求出点的坐标，利用向量的坐标运算可得出和的表达式，代入韦达定理计算出的值，由此可证明出结论成立.

（1）由题意得，解得，因此，椭圆的方程为；

（2）设直线，设点、，

由，消去得，

则，，

，

同理，

四边形的面积为，

整理得，解得或，或，

因为，所以或，

因此，直线的方程为，或.

（3）在直线的方程中，令，得，即点，

，，

，，，同理可得，

.

因此，为定值.