Question

已知有穷数列共有项，且.

（1）若，，，试写出一个满足条件的数列；

（2）若，，求证：数列为递增数列的充要条件是；

（3）若，则所有可能的取值共有多少个？请说明理由.

Answer

（1）、、、、或、、、、；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）有穷数列共有项，且，，，，由此能写出满足条件的数列；

（2）若数列为递增数列，由题意得，，，，由此能推导出，由题意得，，，推导出，，，，由，推导出，，，从而数列是递增数列，由此能证明数列为递增数列的充要条件为；

（3）由题意得，，，，推导出的所有可能值与最大值的差必为偶数，用数学归纳法证明可以取到与之间相差的所有整数，由此能求出所有可能取值的个数.

（1）有穷数列共有项，且，，，，

则满足条件的数列有：、、、、或、、、、；

（2）①充分性：若数列为递增数列，由题意得：，，，，全加得，；

②必要性：由题意，，，

，，，，

上述不等式全部相加得，，

，所以，不等式，，，均取等号，

所以，，，，则数列为单调递增数列.

综上所述，数列为递增数列的充要条件是；

（3）由题意得，，，，

假设，其中，

，

则，

则中有项、、、、取负值，

则有，（*），

的所有可能值与的差必为偶数，

下面利用数学归纳法证明可以取到与之间相差的所有整数，

由（*）知，还要从、、、、中任取一项或若干项相加，可以得到从到的所有整数值即可.

①当时，显然成立；

②当时，从、中任取一项或两项相加，可以得到从、、中任取一项或若干项相加，可以得到从到的所有整数，结论成立；

③假设当时，结论成立，即从、、、、中任取一项或若干项相加，可以得到从到的所有整数值.

则当时，由假设，从、、、、中任取一项或若干项相加，可以得到从到的所有整数值，

用取代、、、、中的，可得，

用取代、、、、中的，可得，

用取代、、、、中的，可得，

将、、、、、全部相加，可得，故命题成立.

因此，所有可能的取值共有个.