Question

如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点，为的中点．证明：直线平面.

Answer

证明见解析

【解析】

试题方法一，取OB的中点G，连接GN、GM．证明平面MNG∥平面OCD，从而可证得MN∥平面OCD．

方法二：取OD的中点P，连接MP、CP．可证得四边形MNCP为平行四边形，因此MN∥PC，由线面平行的判定定理可得MN∥平面OCD．

试题解析：

方法一：如图，取OB的中点G，连接GN、GM．

∵M为OA的中点，

∴MG∥AB.

∵AB∥CD，

∴MG∥CD.

∵MG平面OCD，CD⊂平面OCD，

∴MG∥平面OCD．

又G、N分别为OB、BC的中点，

∴GN∥OC．

∵GN平面OCD，OC⊂平面OCD，

∴GN∥平面OCD．

又MG∩GN＝G，

∴平面MNG∥平面OCD．

∵MN⊂平面MNG，

∴MN∥平面OCD．

方法二：如图，取OD的中点P，连接MP、CP．

∵M为OA的中点，

∴且．

∵N为BC的中点，

∴且，

∴且，

∴四边形MNCP为平行四边形，

∴MN∥PC．

又∵MN平面OCD，PC⊂平面OCD，

∴MN∥平面OCD.