Question

在△中，，，，为角平分线上一点，且在△内部，则到三边距离倒数之和的最小值为________

Answer

【解析】

先根据题意建立平面直角坐标系，求出所在直线的方程为和角

平分线的方程为，求出交点的坐标，令，依题意知，根据点到直线的距离表示出到三边的距离的倒数和，构造函数，，利用导数求出函数的最小值。

由，，可知△为直角三角形，以为原点，以直角边为轴，直角边为轴建立平面直角坐标系，易知，，角平分线的方程为，由截距式知所在直线的方程为，即，

解得，令依题可知，

由点到直线的距离公式知到的距离为，

则到三边距离倒数之和为

令，，

则，

令，即有（该极值点在区间上），

当 时，，则递减；

当时，，则递增，

故答案为：