Question

已知函数（常数）满足.

（1）求的值，并对常数的不同取值讨论函数奇偶性；

（2）若在区间上单调递减，求的最小值.

（3）若方程在有解，求的取值范围.

Answer

（1）时，偶函数，时，非奇非偶函数；

（2）；（3）；

【解析】

（1）由函数（常数，满足（1）．可得值，结合奇偶性的性质，对分类讨论，可得不同情况下函数奇偶性；（2）若在区间上单调递减，则在区间上恒成立，进而可得的最小值；（3）若方程在，有解，则在，有解，结合对勾函数的图象和性质，可得答案．

（1）函数（常数，满足（1）．

，

解得；

当时，函数为偶函数，

当时，函数为非奇非偶函数；

（2）由（1）得：

则，

若在区间上单调递减，

则在区间上恒成立，

即在区间上恒成立，

当时，，

故的最小值为；

（3）方程在，有解，

即在，有解，

即在，有解，

根据对勾函数的图象和性质可得：

当时，取最小值6，

当时，取最大值，

故.