Question

数列的前n项组成集合，从集合中任取个数，其所有可能的k个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），例如：对于数列，当时，时，；

（1）若集合，求当时，的值；

（2）若集合，证明：时集合的与时集合的（为了以示区别，用表示）有关系式，其中；

（3）对于（2）中集合.定义，求（用n表示）.

Answer

（1）；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）利用的定义可得的值.

（2）时，集合的中乘积由两部分构成，一部分是乘积中含，另一部分不含，从而可得之间的关系.

（3）可先证明所有非空子集中各元素的乘积和为，从而可得.

（1）时，，

所以，，.

（2）时，集合的中各乘积由两部分构成，

一部分是乘积中含因数，乘积的其他因数来自集合，故诸乘积和为；

另一部分不含，乘积的所有因数来自集合，故诸乘积的和为.

故.

（3）我们先证明一个性质：

所有非空子集中各元素的乘积和为.

证明：考虑的展开式，该展开式共有项，

每一项均为各因式中选取或后的乘积（除去各项均选1）.

对于的任意非空子集，

该集合中各元素的乘积为的展开式中的某一项：即第个因式选择， ，其余的因式选择1，

注意到非空子集的个数为，

故的所有非空子集中各元素的乘积均在的展开式中恰好出现一次，

所以所有非空子集中各元素的乘积和为.

故对于，

.