Question

已知是定义在上的函数，记，的最大值为.若存在，满足，则称一次函数是的“逼近函数”，此时的称为在上的“逼近确界”.

（1）验证：是的“逼近函数”；

（2）已知.若是的“逼近函数”，求的值；

（3）已知的逼近确界为，求证：对任意常数，.

Answer

（1）见解析，（2），，（3）证明见解析

【解析】

（1），

因为，故的值域为，故，

令，解得或或.

取，，，则， ，，

且，故是的“逼近函数”.

（2），

因为且是的“逼近函数”，

故在和取最小值且在内取最大值.

令，从而，令则

即，故.

（3）同（2），，令，从而.

因为的逼近确界为，

由逼近确界的定义可得：存在，使得.

对于任意的， .

故时，有，

故，

所以，故.

故时，有，

故，

所以，

由基本不等式可得，故

故.

综上，对任意的，有.