Question

如图，长方体中，，，为的中点，，分别为棱，的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）求直线和平面所成角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）根据中位线和平行四边形的性质，以及线面平行判定定理可分别证得平行于平面，根据面面平行判定定理证得结论；

（2）作，通过线面垂直的判定可证得平面，由此可知所求角为，利用三角形相似可求得，从而可求得.

（1）分别为的中点

平面，平面 平面

四边形为平行四边形

平面，平面 平面

，平面 平面平面

（2）作于，连

平面，平面

，平面 平面

则为直线和平面所成的角

由与相似可得：，又

即直线和平面所成角的正弦值为