Question

椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于点，，的周长为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若.①当时，求直线的方程；

②证明是定值，并求出此定值.

Answer

（1）；（2）①或；②证明见解析，.

【解析】

（1）根据周长和焦点坐标可得到关于的方程组，解方程组求得，进而得到椭圆方程；

（2）设直线，代入椭圆方程可得与；

①由可得，代入与中，消去即可得到关于的方程，解方程求得，即可得到所求直线方程；

②利用焦半径公式可表示出和，从而将所证明式子表示为，代入可化简得到定值为.

（1）的周长为 ，又

解得：， 椭圆的标准方程为

（2）设直线的方程为， ，

把代入并化简得：

则有，

①当时，由可得：，则，

消去得：，解得：

直线的方程为或；

②由题意得：

，

由可得，代入上式得：

是定值，定值为