Question

某地拟建造一座体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图所示：曲线是以点为圆心的圆的一部分，其中，是圆的切线，且，曲线是抛物线的一部分，，且恰好等于圆的半径.

（1）若米，米，求与的值；

（2）若体育馆侧面的最大宽度不超过75米，求的取值范围.

Answer

（1），；（2）.

【解析】

（1）根据抛物线方程求得，从而可得半径，即，进而解得；通过圆的方程求得点坐标，从而得到点坐标，代入抛物线方程求得；（2）求解出点坐标后，可知，可整理为，利用基本不等式可求得的最大值，从而可得的范围.

（1）由抛物线方程得：

又，均为圆的半径 ，则

圆的方程为：

，则

代入抛物线方程得：，解得：

（2）由题意知，圆的半径为：，即

则点纵坐标为，代入抛物线方程可得：，即

，整理可得：

（当且仅当时取等号）

即的取值范围为：