Question

设满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”：①；②.

（1）若等比数列为阶“期待数列”，求公比；

（2）若一个等差数列既是阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；

（3）记阶“期待数列” 的前项和为，求证；数列不能为阶“期待数列”.

Answer

（1）；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

（1）对是否等于1进行讨论，令解出；

（2）由得出下标和为的两项和为0，根据数列的单调性得出前项和为，后项和为，根据等差数列的性质将后项和减去前项和即可得出公差与的关系，再利用求和公式得出首项；

（3）①根据条件①②即可得出数列的所有正项和为，所有负项和为，故而；

②由①可知的前项全为非负数，后面的项全是负数，于是的前项和为，故而得出，于是得出．

【解析】
（1）若，由①得：，得，不合题意，舍去；

若，由①得：，解得．

（2）设等差数列的公差是，

因为，

，

，，，

则，．

两式相减得：，，

又，解得，

．

（3）记中非负项和为，负项和为，

则，，得，

因为，所以.

若存在，使，

则，，，，，，，，且，

若数列是阶“期待数列”，记的前项和为，

则，，

因为，所以，所以，，

又因为，则，

所以

所以与不能同时成立，

即数列不能为阶“期待数列”.