Question

定义在R上的函数满足，且当时，，对任意R，均有．

（1）求证：；

（2）求证：对任意R，恒有；

（3）求证：是R上的增函数；

（4）若，求的取值范围．

Answer

（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析； （4） .

【解析】

（1）利用赋值法，令a＝b＝0，求解f (0)的值即可；

（2）分类讨论x < 0和两种情况证明题中的不等式即可；

（3）由函数的性质可证得当时，f (x2) > f (x1)，则f(x)是R上的增函数．

（4）由题意结合函数的单调性和函数在特殊点的函数值可得x的取值范围是(0，3)．

（1）证明：令a＝b＝0，得f (0)＝f 2 (0)，又因为f (0) ≠ 0，所以f (0)＝1.

（2）当x < 0时，－x >0，

所以f (0) ＝f (x) f (－x) ＝1，即，

又因为时，，所以对任意x∈R，恒有f (x) >0.

（3）证明：设，则，所以f (x2)＝f [(x2－x1)＋x1]＝f (x2－x1) f (x1)．

因为x2－x1>0，所以f (x2－x1)>1，又f (x1) > 0，

则f (x2－x1) f (x1) > f (x1)，即f (x2) > f (x1)，所以f(x)是R上的增函数．

（4）由f (x)·f (2x－x2) >1， f (0)＝1得f (3x－x2) > f (0)，

又由f (x) 为增函数，所以3x－x2 > 0 ⇒ 0 < x < 3.故x的取值范围是(0，3)．