Question

已知函数,.

（1）若曲线在点处的切线斜率为，求实数的值；

（2）若在有两个零点，求的取值范围；

（3）当时，证明：.

Answer

（1）；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

试题（1）根据导数的意义和已知条件求出的值；（2）将原方程有两根转为两图象与函数有两个交点；（3）将要证明的不等式等价于证明，然后利用函数的单调性来进行证明.

试题解析：（1）【解析】
因为，所以.

因为曲线在点处的切线斜率为，所以，

解得

（2）【解析】
原题等价于方程在有两个不同根.

转化为，函数与函数的图像在上有两个不同交点.

又，即时，，时，，

所以在上单调增，在上单调减.从而

又有且只有一个零点是，且在时，，在在时，，

可见，要想函数与函数的图像在上有两个不同交点，

所以

（3）证明：因为,，

当时，要证，只需证明

设，则在上单调递增，

，，在上有唯一零点上

，

因为，所以即.

当时，；当时，，

所以当时，取得最小值.

所以.

综上可知，当时，