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已知函数. (1)讨论函数的极值点的个数; (2)若有两个极值点,证明:.

已知函数.

1)讨论函数的极值点的个数;

2)若有两个极值点,证明:.

 

(1)答案不唯一,具体见解析;(2)证明见解析. 【解析】 (1)求出函数的导数,通过讨论的范围,得到函数的单调区间,从而求出函数的极值点; (2)由(1)可知,当且仅当时,有两个极值点,且为方程的两根,,求出,根据函数的单调性证明即可. (1). ①当时,. 当时,,所以在上单调递增; 当时,,所以在上单调递减. 即函数只有一个极大值点,无极小值点. ②当时,, 令,得. 当时,, 所以在上单调递增; 当时,, 所以在上单调递减. 即函数有一个极大值点,有一个极小值点. ③当时,,此时恒成立, 即在上单调递增,无极值点. 综上所述,当时,有且仅有一个极大值点,即只有1个极值点; 当时,有一个极大值点和一个极小值点,即有2个极值点; 当时,没有极值点. (2)由(1)可知,当且仅当时, 有两个极值点,且为方程的两根, 即, 所以 . 令, 则恒成立, 所以在上单调递增, 所以, 即.
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考点分析:
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设椭圆的离心率是,直线被椭圆C截得的弦长为.

1)求椭圆C的方程;

2)已知点,斜率为的直线l与椭圆C交于不同的两点AB,当的面积最大时,求直线l的方程.

 

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如图,在三棱锥中,是边长为的正三角形,.

1)证明:平面平面

2)点在棱上,且,求二面角的大小.

 

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某高校健康社团为调查本校大学生每周运动的时长,随机选取了80名学生,调查他们每周运动的总时长(单位:小时),按照6组进行统计,得到男生、女生每周运动的时长的统计如下(表12),规定每周运动15小时以上(含15小时)的称为“运动合格者”,其中每周运动25小时以上(含25小时)的称为“运动达人”.

1:男生

时长

人数

2

8

16

8

4

2

 

2:女生

时长

人数

0

4

12

12

8

4

 

1)从每周运动时长不小于20小时的男生中随机选取2人,求选到“运动达人”的概率;

2)根据题目条件,完成下面列联表,并判断能否有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关.

 

每周运动的时长小于15小时

每周运动的时长不小于15小时

总计

男生

 

 

 

女生

 

 

 

总计

 

 

 

 

参考公式:,其中.

参考数据:

0.40

0.25

0.10

0.010

0.708

1.323

2.706

6.635

 

 

 

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的内角的对边分别为,已知,点为边的中点,且.

1)求

2)若,求的面积.

 

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已知,设数列的前n项和为,则________.

 

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