Question

已知函数.

（1）讨论函数的极值点的个数；

（2）若有两个极值点，证明：.

Answer

（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值点；

（2）由（1）可知，当且仅当时，有两个极值点，且为方程的两根，，求出，根据函数的单调性证明即可.

（1）.

①当时，.

当时，，所以在上单调递增；

当时，，所以在上单调递减.

即函数只有一个极大值点，无极小值点.

②当时，，

令，得.

当时，，

所以在上单调递增；

当时，，

所以在上单调递减.

即函数有一个极大值点，有一个极小值点.

③当时，，此时恒成立，

即在上单调递增，无极值点.

综上所述，当时，有且仅有一个极大值点，即只有1个极值点；

当时，有一个极大值点和一个极小值点，即有2个极值点；

当时，没有极值点.

（2）由（1）可知，当且仅当时，

有两个极值点，且为方程的两根，

即，

所以

.

令，

则恒成立，

所以在上单调递增，

所以，

即.