Question

在棱长为6的正方体中，M是BC的中点，点是正方形内（包括边界）的动点，且满足，则______，当三棱锥的体积取得最大值时，此时______.

Answer

2

【解析】

建立如图所示坐标系，设点坐标为，由，利用正弦值相等求得，进一步得到点的轨迹为圆，再利用圆的方程得到取最大值时，三棱锥的体积取得最大值，从而求得的值.

建立如图所示坐标系，设点坐标为，

因为，所以，

所以，即.

因为，，

所以，

所以，

即；

点的轨迹是以为圆心，以4为半径的圆，又因为，，

若三棱锥P-BCD的体积得最大值，则三棱锥的高最大，即最大，

当时，最大值为，

所以.

故答案为： 2；.