Question

已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且.

（1）求抛物线C的方程及的值；

（2）设点O为坐标原点，过抛物线C的焦点F作斜率为的直线l交抛物线于，两点，点Q为抛物线C上异于M、N的一点，若，求实数t的值.

Answer

（1），（2）

【解析】

（1）利用抛物线的焦半径公式可得，再将代入抛物线方程求得；

（2）由（1）知，直线l的方程为，联立，求得点的坐标，再代入，利用向量相等求得的值.

（1）由题意知，抛物线的准线方程为：

根据抛物线的定义，，所以，

故抛物线方程为，点

当时，.

（2）由（1）知，直线l的方程为，

联立，得，解得，

所以，

设点Q的坐标为，则得

所以，，

又因为点Q在抛物线上，所以

解得或（舍去）.