Question

已知各项均为正数的等比数列的公比，且，是方程的两根，记的前n项和为.

（1）若，，依次成等差数列，求m的值；

（2）设，数列的前n项和为，若，求n的最小值；

Answer

（1）；（2）n的最小值为5

【解析】

（1）利用韦达定理求得，的值，从而得到，利用等差中项性质得，利用通项公式和前项和公式得到关于的方程，解方程即可得到答案；

（2）利用等比数列和等差数列求和得，再用代入法求得使的的取值情况，从而得到的最小值.

（1）因为，且，是方程的两根.

所以或，

因为，所以.

故，

又，所以，此时，，

由题意得，，又，

因为，，依次成等差数列，所以，

即，解得：.

（2）因为，所以，

从而

，

当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

当时，，，此时，

所以，的最小值为5.