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已知椭圆,且椭圆C上恰有三点在集合中. (1)求椭圆C的方程; (2)若点O为坐...

已知椭圆,且椭圆C上恰有三点在集合.

1)求椭圆C的方程;

2)若点O为坐标原点,直线AB与椭圆交于AB两点,且满足,试探究:点O到直线AB的距离是否为定值.如果是,请求出定值:如果不是,请明说理由.

3)在(2)的条件下,求面积的最大值.

 

(1)(2)点O到直线AB的距离为定值(3) 【解析】 (1)利用椭圆的对称性得椭圆必过和,结合椭圆过点,求得的值,从而得到椭圆的方程; (2)设,,对直线的斜率进行讨论,当斜率存在时设为, 由得,代入点到直线的距离公式可得答案; (3)将弦表示成关于的函数,利用基本不等式求得弦的最大值,再代入三角形的面积公式,求得三角形面积的最大值. (1)和关于原点对称,故由题意知,椭圆C必过此两点 ,又当椭圆过点时,,∴, 此时满足,符合题意. 所以椭圆. 又当椭圆过点时,,∴, 此时,不符合题意. 综上:椭圆. (2)设,,若斜率存在,则设直线, 由,得, , 由知, , 代入得, 又原点到直线AB的距离, 且当AB的斜率不存在时,,可得,依然成立. 所以点O到直线AB的距离为定值. (3)由(2)知, 由(2)知,, ; 因为,当且仅当,即时等号成立. 所以; 易知当AB斜率不存在时,,所以, 综上得的面积的最大值为.
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