Question

已知椭圆，且椭圆C上恰有三点在集合中.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若点O为坐标原点，直线AB与椭圆交于A、B两点，且满足，试探究：点O到直线AB的距离是否为定值.如果是，请求出定值：如果不是，请明说理由.

（3）在（2）的条件下，求面积的最大值.

Answer

（1）（2）点O到直线AB的距离为定值（3）

【解析】

（1）利用椭圆的对称性得椭圆必过和，结合椭圆过点，求得的值，从而得到椭圆的方程；

（2）设，，对直线的斜率进行讨论，当斜率存在时设为，

由得，代入点到直线的距离公式可得答案；

（3）将弦表示成关于的函数，利用基本不等式求得弦的最大值，再代入三角形的面积公式，求得三角形面积的最大值.

（1）和关于原点对称，故由题意知，椭圆C必过此两点

，又当椭圆过点时，，∴，

此时满足，符合题意.

所以椭圆.

又当椭圆过点时，，∴，

此时，不符合题意.

综上：椭圆.

（2）设，，若斜率存在，则设直线，

由，得，

，

由知，

，

代入得，

又原点到直线AB的距离，

且当AB的斜率不存在时，，可得，依然成立.

所以点O到直线AB的距离为定值.

（3）由（2）知，

由（2）知，，

；

因为，当且仅当，即时等号成立.

所以；

易知当AB斜率不存在时，，所以，

综上得的面积的最大值为.