Question

对于函数，如果存在实数使得，那么称为的生成函数.

（1）函数，是否为的生成函数？说明理由；

（2）设，，当时生成函数，求的对称中心（不必证明）；

（3）设，，取，，生成函数，若函数的最小值是5，求实数的值.

Answer

（1）不是的生成函数,详见解析（2）的对称中心为（3）

【解析】

（1）先假设存在，列出方程，根据方程无解，得出不存在；

（2）化简函数式为，从而判断函数图象关于点中心对称；

（3）运用双勾函数的图象和性质，并通过分类讨论确定函数的最值．

【解析】
（1）根据生成函数的定义，设存在，使得，

则，

对比两边的系数可知，，方程组无解，

所以，不是，的生成函数；

（2）因为，所以，，

而，

该函数的图象为双曲线，对称中心为；

（3）根据题意，，

根据基本不等式，，

当且仅当：时，取“”，

因此，函数单调性为，上单调递减，上单调递增，

故令，解得，最值情况分类讨论如下：

①当，时，，

所以，当时，单调递增，，解得，符合题意；

②当时，，

所以，当时，先减后增，，解得，不合题意；

综合以上讨论得，实数的值为1．