Question

已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆C上.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过椭圆上异于其顶点的任意一点Q作圆的两条切线，切点分别为不在坐标轴上），若直线在x轴，y轴上的截距分别为，证明：为定值；

（3）若是椭圆上不同两点，轴，圆E过，且椭圆上任意一点都不在圆E内，则称圆E为该椭圆的一个内切圆，试问：椭圆是否存在过焦点F的内切圆？若存在，求出圆心E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）由焦点坐标确定出c的值，根据椭圆的性质列出a与b的方程，再将P点坐标代入椭圆方程列出关于a与b的方程，联立求出a与b的值，确定出椭圆方程即可．

（2）由题意：确定出C1的方程，设点P（x1，y1），M（x2，y2），N（x3，y3），根据M，N不在坐标轴上，得到直线PM与直线OM斜率乘积为﹣1，确定出直线PM的方程，同理可得直线PN的方程，进而确定出直线MN方程，求出直线MN与x轴，y轴截距m与n，即可确定出所求式子的值为定值．

（3）依题意可得符合要求的圆E，即为过点F，P1，P2的三角形的外接圆．所以圆心在x轴上．根据题意写出圆E的方程．由于圆的存在必须要符合，椭圆上的点到圆E距离的最小值是|P1E|，结合图形可得圆心E在线段P1P2上，半径最小．又由于点F已知，即可求得结论．

（1）∵椭圆C：的右焦点为F（1，0），且点P（1,）在椭圆C上；

∴，解得a＝2，b＝，

∴椭圆C的标准方程为．

（2）由题意：C1：，

设点P（x1，y1），M（x2，y2），N（x3，y3），

∵M，N不在坐标轴上，∴kPM＝﹣＝﹣，

∴直线PM的方程为y﹣y2＝﹣（x﹣x2），

化简得：x2x+y2y＝，①，

同理可得直线PN的方程为x3x+y3y＝，②，

把P点的坐标代入①、②得，

∴直线MN的方程为x1x+y1y＝，

令y＝0，得m＝，令x＝0得n＝，

∴x1＝，y1＝，

又点P在椭圆C1上，

∴（）2+3（）2＝4，

则＝为定值．

（3）由椭圆的对称性，可以设P1（m，n），P2（m，﹣n），点E在x轴上，设点E（t，0），

则圆E的方程为：（x﹣t）2+y2＝（m﹣t）2+n2，

由内切圆定义知道，椭圆上的点到点E距离的最小值是|P1E|，

设点M（x，y）是椭圆C上任意一点，则|ME|2＝（x﹣t）2+y2＝，

当x＝m时，|ME|2最小，∴m＝﹣，③，

又圆E过点F，∴（﹣）2＝（m﹣t）2+n2，④

点P1在椭圆上，∴，⑤

由③④⑤，解得：t＝﹣或t＝﹣，

又t＝﹣时，m＝﹣＜﹣2，不合题意，

综上：椭圆C存在符合条件的内切圆，点E的坐标是（﹣，0）．