Question

设集合由满足下列两个条件的数列构成：①②存在实数使对任意正整数都成立.

（1）现在给出只有5项的有限数列其中；试判断数列是否为集合的元素；

（2）数列的前项和为且对任意正整数点在直线上，证明：数列并写出实数的取值范围；

（3）设数列且对满足条件②中的实数的最小值都有求证：数列一定是单调递增数列.

Answer

（1）数列不是集合中的元素；数列是集合中的元素（2）证明见解析，实数的取值范围是实数的取值范围是（3）证明见解析

【解析】

（1）由于，可知数列不满足条件①，对数列中的每项逐一验证性质①，根据对数的运算性质可得性质②，进而可得结果；（2）由于点在直线上，可得，利用递推关系可得：，利用等比数列的前项和公式可得，验证，可知条件①成立，由于，即可得出条件②及其，的范围；（3）利用反证法：若数列非单调递增，则一定存在正整数，使成立，再结合数学归纳法证明即可.

（1）对于数列，∵，不满足集合的条件①，

∴数列不是集合中的元素.

对于数列，∵，，

，而且，当时有显然满足集合的条件①②，故数列是集合中的元素.

（2）因为点在直线上，

所以①当时，有②

①②，得所以，当时，有

又，所以

因此对任意正整数都有，所以数列是公比为的等比数列，

故

对任意正整数，都有，且，

故，实数的取值范围是，实数的取值范围是

（3）假设数列不是单递增数列，则一定存在正整数，使，

此时，我们用数学归纳法证明：对于任意的正整数，当时都有成立.

①时，显然有成立；

②假设时，

则当时，由可得从而有

所以

由①②知，对任意的都有1

显然这个值中一定有一个最大的，不妨记为于是

从而与已知条件相矛盾.

所以假设不成立，故命题得证.