Question

已知椭圆的右焦点为，左，右顶点分别为，离心率为，且过点.

（1）求的方程；

（2）设过点的直线交于，（异于）两点，直线的斜率分别为.若，求的值.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）根据，求得，再代入点的坐标，求得椭圆方程；

（2）设直线的斜率为，直线的方程和椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示和的值，再求.

（1）依题意得椭圆的离心率为，

则.

将点代入椭圆方程得，

则，

故椭圆的方程为.

（2）设直线的斜率为.

由题意可知，直线的斜率不为0，故可设直线.

由消去，得，

所以，.

所以

.

又因为点在椭圆上，所以，

则，所以.