Question

已知函数.

（1）函数在处的切线过点，求的方程；

（2）若且函数有两个零点，求的最小值.

Answer

（1）即；（2）8.

【解析】

（1）首先求出在处的切线方程，然后代入点，求参数的值；

（2）首先利用导数判断函数的单调性和最小值，因为有两个零点，所以即得，再根据零点存在性定理证明在上有一个零点，在上有一个零点，得到的最小值.

（1）因为，

所以，

所以又，

所以在处切线方程为，

即.

又因为直线过点，所以得即.

所以直线方程为即.

（2）因为.

令得即，

因为所以，

所以当时，，当时，，

则在上单调递减，在上单调递增，

所以.

因为有两个零点，所以即得，

又因为，

.

设

则，因为在上单调递增，

所以，所以在单调递增，

所以.

又，所以，

故在上有一个零点，在上有一个零点，

即在上有两个零点，

则又且，

所以得最小值为8.