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正方体的棱长为2,动点在对角线上,过点作垂直于的平面,记平面截正方体得到的截面多...

正方体的棱长为2,动点在对角线上,过点作垂直于的平面,记平面截正方体得到的截面多边形(含三角形)的周长为,设.

1)下列说法中,正确的编号为__________.

截面多边形可能为四边形;函数的图象关于对称.

2)当时,三棱锥的外接球的表面积为__________.

 

②③ 9π 【解析】 (1)先找到两个与垂直的平面作为辅助平面,从而确定这两个平面之间的截面为六边形,从而判断①错误;由正方体的对称性判断③;由等体积法判断②; (2)找出该三棱锥外接球的半径,由球的表面积公式计算即可. (1)连接,以点D为坐标原点,分别以为轴建立如下图所示的空间直角坐标系 , 所以,面, 即面 同理可证:面 所以面面,如下图所示,夹在面和面之间并且与这两个平面平行的截面为六边形 故截面只能为三角形和六边形,故①错误; 由正方体的对称性,可得函数的图像关于对称,故③正确; 取的中点分别为,连接,如下图所示,即此时 对应的周长为 ,即,故②正确; (2)当时,此时点P在线段的中点,连接交于点H 则,,则 所以 ,同理可证: 面,,所以面 取PH的中点为O, ,则三棱锥的外接球的球心为O,半径为,则三棱锥的外接球的表面积为 故答案为:(1)②③;(2)
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A. B. C. D.

 

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