Question

在正项数列中，已知且.

（1）证明：数列是等差数列；

（2）设的前项和为，证明：.

Answer

（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】

(1)由题设条件证明数列是等差数列，并得出数列的通项公式，进而得出，再由等差数列的定义证明即可；

(2)由等差数列的前项和公式得出，再由裂项求和法证明不等式.

（1）∵

∴，

∴数列是公差为2的等差数列.

∵∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴数列是等差数列.

（2）由（1）可得∴，

∴，

∴，

.