Question

如图：已知正方形的边长为，沿着对角线将折起，使到达的位置，且.

（1）证明：平面平面；

（2）若是的中点，点在线段上，且满足直线与平面所成角的正弦值为，求的值.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

(1)利用线面垂直的判定定理证明平面，得出为平面的平面角，由勾股定理证明，即可证明平面平面；

(2) 建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

【解析】
（1）取的中点，连接

∵且为的中点，∴；同理，.

，平面

∴平面，则有为平面的平面角，

又∵在中，，则有

∴，

∴平面平面.

（2）由（1）可知，平面，则有，，又，则以为原点，所在直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系.

则有，，∴，

∵是的中点，∴M，又设，则，

则点的坐标为，∴.

设平面的一个法向量为，则有，

∴取，

∵直线与平面所成角的正弦值为，

，解得，

故