Question

已知：椭圆的右焦点为为上顶点，为坐标原点，若的面积为2，且椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线交椭圆于两点，当为的垂心时，求的面积.

Answer

（1）（2）

【解析】

(1)由的面积以及离心率求解即可得到方程；

(2)根据三角形垂心的性质得出直线的斜率，设出直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长公式得出，再利用点到直线的距离公式得出以为底的高，利用三角形面积公式求解即可.

解（1）依题意可知，

则，且，

可得：，

所以椭圆的方程为：.

（2）∵为的垂心，∴

由（1）知，∴，

设直线方程为，

联立得，

可得，即，

且可得，

∵，∴，

即，

.

解得或，

当时，三点共线（舍去），∴，

此时，

，

点到直线的距离.

∴.